คณิตศาสตร์ แน่นอนว่าสัญชาตญาณนั้น ด้อยกว่าตรรกะในแง่ของความน่าเชื่อถือและความเข้มงวด แต่เมื่อได้พัฒนาและก่อตัวขึ้นในยุคสมัยใหม่ ภายใต้กรอบของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ จนกลายเป็นวิทยาศาสตร์เชิงสาธิตที่เข้มงวด แม่นยำ คณิตศาสตร์จึงลืมเกี่ยวกับ ที่มาทางประวัติศาสตร์ของมัน รากเหง้าโดยสัญชาตญาณดังที่ทราบกันดีว่าตั้งแต่สมัยโบราณจนถึงศตวรรษที่ 17 ความเชื่อในความน่าเชื่อถือ และความถูกต้องของความรู้ทางคณิตศาสตร์

ซึ่งมีพื้นฐานมาจากความชัดเจน และหลักฐานโดยสัญชาตญาณ นอกจากนี้ ชาวกรีกโบราณยังได้รับมอบหมายบทบาทสำคัญ ให้กับสัญชาตญาณในการเกิดขึ้นครั้งแรก ของแนวคิดทางคณิตศาสตร์บางอย่าง ดังนั้น การเกิดขึ้นของสัจพจน์พื้นฐาน สมมติฐานคำจำกัดความของจุดเริ่มต้น ยูคลิด พอยคาเร่จึงกำหนดบทบาทของสัญชาตญาณ ในความเห็นของเขา คณิตศาสตร์ แทบจะไม่เกิดขึ้นเลยพื้นฐานของตรรกะ เนื่องจากตรรกะที่บริสุทธิ์ มักจะนำไปสู่ความซ้ำซากจำเจเท่านั้น

ไม่สามารถสร้างสิ่งใหม่ได้ โดยตัวมันเองไม่สามารถก่อให้เกิดวิทยาศาสตร์ใดๆได้ เพื่อสร้างเลขคณิต เช่นเดียวกับการสร้างเรขาคณิตหรือวิทยาศาสตร์ชนิดใดๆ จำเป็นต้องมีสิ่งอื่นนอกเหนือจากตรรกะบริสุทธิ์ เพื่อกำหนดสิ่งนี้เราไม่มีคำอื่นใดนอกจากคำว่าสัญชาตญาณ พอยคาเร่มาจากสัจพจน์ทางคณิตศาสตร์ ส่วนใหญ่จากสัญชาตญาณของจำนวนบริสุทธิ์ ซึ่งเป็นสัญชาตญาณเดียวที่มีความแน่นอน ความเข้มงวดและจากการเหนี่ยวนำ ทางคณิตศาสตร์ที่เข้มงวดตามมา

จากสัญชาตญาณทุกประเภท ที่พอยคาเร่โดดเด่นด้วยอุปนัย ปัญญา สัญชาตญาณของจำนวนบริสุทธิ์ เขากำหนดบทบาทชี้ขาดในวิทยาศาสตร์ให้กับคนหลัง เช่น สัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ เนื่องจากเธอเป็นผู้กำหนดรูปแบบการก่อสร้างเชิงตรรกะ ให้ความสว่างและชี้แนะแก่นักวิเคราะห์ ทำให้พวกเขาไม่เพียงแต่พิสูจน์เท่านั้น แต่ยังเป็นผู้ประดิษฐ์อีกด้วย ความชื่นชมอย่างสูงของความสำคัญ ของสัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์ ในความคิดสร้างสรรค์ทางวิทยาศาสตร์

โดยพอยคาเร่และโดยทั่วไปแล้ว พื้นฐานทางวิทยาศาสตร์ที่เข้าใจได้ง่าย ได้กลายเป็นส่วนสนับสนุนที่สำคัญในการวิพากษ์วิจารณ์ รากฐานตรรกะของคณิตศาสตร์ พอยคาเร่ทำหน้าที่เป็นนักวิจารณ์ที่จริงจังที่สุด คนแรกของลอจิกซิสซึ่ม แสดงให้เห็นว่าการลดการใช้คณิตศาสตร์ทั้งหมด เป็นตรรกะเพียงอย่างเดียวนั้นประสบปัญหาที่สำคัญ หนึ่งในนั้นคือตามที่แอสมัส องค์ประกอบและหลักการบางอย่าง ซึ่งไม่ได้ขึ้นอยู่กับตรรกะอีกต่อไป

แต่ด้วยสัญชาตญาณ ไม่สามารถลบออกจากการให้เหตุผล ทางคณิตศาสตร์ได้อย่างสมบูรณ์ เช่น ตามดุลยพินิจทางปัญญาโดยตรง การยอมรับว่าสัจพจน์ทางเรขาคณิต ไม่ใช่การตัดสินเบื้องต้นหรือข้อเท็จจริงเชิงทดลอง แต่เป็นข้อกำหนดแบบมีเงื่อนไข ข้อตกลง กล่าวอีกนัยหนึ่งสัจพจน์ของเรขาคณิต ไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความ ว่าพวกเขาไม่เข้าใจ ความจริงที่ชัดเจนในตัวเอง พอยคาเร่ยังคงไม่สามารถตกลงได้ว่า สัจพจน์ของเลขคณิตเหมือนกัน

ในความเห็นของเขา มีข้อจำกัดในการตรรกะของเลขคณิต เนื่องจากเลขคณิตไม่ได้ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความเชิงตรรกะ แต่ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ซึ่งเป็นบทบัญญัติ ที่เห็นได้โดยสัญชาตญาณ เห็นได้ชัดว่าสิ่งนี้อธิบายความไม่ลงรอยกัน ของการโต้เถียงของเขากับนักตรรกะ ยิ่งไปกว่านั้นสำหรับพอยคาเร่ วงจรแย่ๆที่ความพยายามของนักตรรกวิทยา นำไปสู่การอนุมานทางคณิตศาสตร์ จากตรรกะนั้นค่อนข้างชัดเจน ความจริงก็คือว่าเหตุผลใดๆของคณิตศาสตร์

ตรรกะมีวงกลมอยู่บ้าง เพราะมันมีสถานที่ที่ไม่ยุติธรรม กล่าวคือต้องเชื่อหรือสัญชาตญาณ แน่นอนจำนวนของข้อกำหนดเบื้องต้นเหล่านี้ สามารถลดลงได้แต่ไม่สามารถกำจัดให้หมดสิ้นได้ เช่นเดียวกับที่เข้ากันไม่ได้ คือการโต้เถียงของพอยคาเร่ กับรูปแบบของฮิลเบิร์ต ซึ่งลดความซับซ้อนและบิดเบือนธรรมชาติ และสาระสำคัญของข้อความทางคณิตศาสตร์มากจนเหมาะสำหรับเรขาคณิต ถูกแทนที่ด้วยเครื่องตรรกะที่คิดค้นโดยสแตนลีย์ เจวอนส์และนี่เป็นสิ่งที่เห็นได้ชัด

เพราะแนวคิดและคำจำกัดความ ที่ใช้ในการพิสูจน์ถูกแต่งในรูปแบบสัญลักษณ์ ที่ไม่จำเป็นและแม้แต่การพิสูจน์ทฤษฎีบทก็ไร้ประโยชน์ ที่จะรู้ว่ามันต้องการจะพูดอะไร โดยทั่วไปอาจกล่าวได้ว่าคำวิพากษ์วิจารณ์ของพอยคาเร่ ต่อนักลอจิสติกส์และคณิตศาสตร์รูปนัยนิยม มีส่วนทำให้เกิดการเกิดขึ้นในหมู่นักคณิตศาสตร์ เมื่อต้นศตวรรษที่ 20 บรรยากาศแห่งความไม่แน่นอนเกี่ยวกับรากฐานของวิทยาศาสตร์ ทั้งหมดนี้ให้สิทธิ์ในการยืนยันด้วยเหตุผลที่ดีว่า

พอยคาเร่เป็นหนึ่งในผู้บุกเบิกสัญชาตญาณในทันที แนวคิดเกี่ยวกับสัญชาตญาณได้รับการพัฒนา โดยนักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ ไลเซน เอ็กเบิร์ก แจนบราวเวอร์ในปี 1881 ถึง 1966 ซึ่งวางรากฐานสำหรับแนวโน้มทั้งหมด ในการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ สัญชาตญาณทางคณิตศาสตร์แฮร์มันน์ ไวล์ นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสในปี 1885 ถึง 1955 และอีกคนหนึ่ง ผู้ก่อตั้งตรรกะสัญชาตญาณ อาเร็น เฮติง นักคณิตศาสตร์ชาวดัตช์ในปี 1888 ถึง 1980

ดังนั้นบราวเวอร์ ซึ่งเป็นผู้กำหนดแก่นแท้ของสัญชาตญาณ ทางคณิตศาสตร์จึงเขียนว่า มุมมองซึ่งพิจารณาว่าไม่มีความจริง ที่รู้จักจากประสบการณ์ และตรรกะนั้นไม่ใช่เครื่องมือที่เชื่อถือได้อย่างสมบูรณ์ สำหรับการค้นหาความจริง ถูกนำมาใช้ในความสัมพันธ์กับคณิตศาสตร์มาก ช้ากว่าในชีวิตจริงและวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ที่ยึดมั่นในมุมมองนี้อย่างเคร่งครัด และอนุมานทฤษฎีบทโดยวิธีการสร้างครุ่นคิดเท่านั้น เรียกว่าคณิตศาสตร์โดยสัญชาตญาณ

ด้วยคำจำกัดความนี้ เขาระบุจริงๆว่าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์ ที่ปฏิเสธตรรกะว่าเป็นแหล่งที่มาของความจริงทางคณิตศาสตร์ และได้รับทฤษฎีทั้งหมดด้วยวิธีการสร้างแบบครุ่นคิด นั่นคือบราวเวอร์เปรียบเทียบตรรกะ กับสัญชาตญาณว่าเป็นวิธีการสร้างครุ่นคิด

อ่านต่อได้ที่  กล้ามเนื้อลาย อธิบายเกี่ยวกับวิธีการออกกำลังกายสำหรับกล้ามเนื้อ